Многие простые пользователи в этом случае предпологают самое худшее - сгорел процессор. Что ж, это - одна из возможных причин. Но если Вы не экспериментировали с разгоном, и не добились того, что из системного блока ощутимо потянуло дымком...
Если этого не было, значит посмотрим основные возможные причины.

Первое. Проверьте шнур питания!
Забавно, но чаще всего синдром "Купил, включил, не работает!" связан именно с ним. Шнур питания должен уверенно сидеть в своём гнезде на задней стенке системного блока, а его второй конец (который с вилкой) в обязательном порядке подключен к чему-то питательному. К розетке, удлинителю, источнику БП и т.д. 
Примитив? Так считаете?
Не забудьте, что у компьютера помимо главной кнопки питания есть ещё и выключатель, расположенный сзади - как раз рядом с гнездом для подключения электрошнура. Если он установлен в положение "выключено" - щелкать кнопками бесполезно.

Второе. Проверьте блок питания.

С питанием всё в порядке? Охотно верю
Тем не менее, при включении компьютер никак не реагирует?
Есть 2 выхода: если компьютер на гарантии, можно отдать его в сервис-центр. Если же вышел из строя "старый боевой конь", гарантия на который давно кончилась, можно попробовать отремонтировать самому. Однако в этом случае сразу предупреждаю: никакой ответственности за последствия лично я не несу! Если не хотите рисковать, лучше отдать компьютер специалисту.
Приступим.
Отсоедините системный блок от остальных устройств и снимите боковую крышку. Теперь подсоедините клавиатуру и мышь включите компьютер. Теперь посмотрите - не подмигивает ли системная плата каким-нибудь огоньком? На многих платах сегодня устанавливают лампочки-индикаторы питания, поэтому если лапочка загорелась, переходите к следующему шагу.
Если лапочка не горит, проверьте правильность подключения всех проводов, которые идут от блока питания к разъемам на системной плате. Для этого ОБЯЗАТЕЛЬНО вооружитесь инструкцией к системной плате - её Вам должны выдать при покупке компьютера.
Если Вы обладаете некоторым поэтом в радиоэлектронике, можно "прозвонить" блок питания с помощью специального тестера...
Заодно проверьте мощьность Вашего блока питания - сейчас его мощьность должна составлять, как минимум 350 ватт, лучше 450 и 500...